arctanx在0到1的定积分

`arctanx` 在区间 \\（0, 1\\） 的定积分可以通过分部积分法来计算。

令 `u = arctanx`，则 `x = tan（u）`，`dx = \\sec^2（u） du`。

积分区间也随之改变，当 `x = 0` 时，`u = arctan（0） = 0`；当 `x = 1` 时，`u = arctan（1） = \\frac{\\pi}{4}`。

所以积分变为：

\\（\\int_{0}^{1} arctanx \\, dx = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} u \\sec^2（u） \\, du\\）

使用分部积分法，令 `dv = \\sec^2（u） du`，则 `v = \\tan（u）`，`w = u`，`dw = du`。

根据分部积分公式 \\（\\int w \\, dv = wv - \\int v \\, dw\\），我们得到：

\\（\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} u \\sec^2（u） \\, du = \\left. u \\tan（u） \\right|_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} - \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan（u） \\, du\\）

计算第一部分：

\\（\\left. u \\tan（u） \\right|_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} = \\frac{\\pi}{4} \\tan\\left（\\frac{\\pi}{4}\\right） - 0 \\tan（0） = \\frac{\\pi}{4} - 0 = \\frac{\\pi}{4}\\）

计算第二部分，使用 \\（\\int \\tan（u） \\, du = -\\ln|\\cos（u）| + C\\） 得到：

\\（- \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} \\tan（u） \\, du = -\\left. \\ln|\\cos（u）| \\right|_{0}^{\\frac{\\pi}{4}} = -\\left（ \\ln\\left|\\cos\\left（\\frac{\\pi}{4}\\right）\\right| - \\ln\\left|\\cos（0）\\right| \\right） = -\\left（ \\ln\\left（\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right） - \\ln（1） \\right） = \\frac{\\ln 2}{2}\\）

因此，最终的积分结果是：

\\（\\int_{0}^{1} arctanx \\, dx = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\ln 2}{2}\\）

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